题目

如图1，射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P，已知∠A=78°，∠BPC=39°，BC=7，AB=4． （1） 求证：BD平分∠ABC； （2） 如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM⊥BC于点M，求MC的长度． 答案： 证明：∵∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF，∴∠ABF=∠ACF-78°，∠DBF=∠ECF-39°，∵CE平分∠ACF，∴∠ACF=2∠ECF，∴∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF，∴BD平分∠ABC； 解：连接AQ，CQ，过点Q作BA的垂线交BA的延长线于N， ∵QG垂直平分AC， ∴AQ=CQ， ∵BD平分∠ABC，QM⊥BC，QN⊥BA， ∴QM=QN， ∴Rt△QNA≌Rt△QMC（HL）， ∴NA=MC， ∵QM=QN，BQ=BQ， ∴Rt△QNB≌Rt△QMB（HL）， ∴NB=MB， ∴BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC， ∴7=4+2MC， ∴MC=1.5．

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