题目

已知直线 上有一动点 ，过点 作直线 垂直于 轴，动点 在 上，且满足 （ 为坐标原点），记点 的轨迹为曲线 . （1） 求曲线 的方程； （2） 已知定点 ， ， 为曲线 上一点，直线 交曲线 于另一点 ，且点 在线段 上，直线 交曲线 于另一点 ，求 的内切圆半径 的取值范围． 答案： 解：设点 P(x,y) ，则 Q(−2,y) ， 所以 OP⇀=(x,y) ， OQ⇀=(−2,y) . 因为 OP⇀⋅OQ⇀=0 ， 所以 OP⇀⋅OQ⇀=−2x+y2=0 ，即 y2=2x 解：设 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ， D(x3,y3) ，直线 BD 与 x 轴交点为 E ，直线 AB 与内切圆的切点为 T . 设直线 AM 的方程为 y=k(x+12) ，则联立方程组 {y=k(x+12)y2=2x  得 k2x2+(k2−2)x+k24=0 ， 所以 x1x2=14 且 0<x1<x2 ，所以 x1<12<x2 ， 所以直线 AN 的方程为 y=y1x1−12(x−12) ， 与方程 y2=2x 联立得 y12x2−(y12+2x12−2x1+12)x+14y12=0 ， 化简得 2x1x2−(2x12+12)x+12x1=0 ，解得 x=14x1 或 x=x1 . 因为 x3=14x1=x2 ， 所以 BD⊥x 轴， 设 ΔMBD 的内切圆圆心为 H ，则点 H 在 x 轴上且 HT⊥AB . ∴S△MBD=12⋅(x2+12)|2y2| ，且 ΔMBD 的周长 2(x2+12)2+y22+2|y2| ， ∴S△MBD=12[2(x2+12)2+y22+2|y2|]⋅r=12⋅(x2+12)⋅|2y2| ， ∴r=(x2+12)|y2||y2|+(x2+12)2+y22=11x2+12+1y22+1(x2+12)2=112x2+1(x2+12)2+1x2+12 ， 令 t=x2+12 ，则 t>1 ， 所以 r=112t−1+1t2+1t 在区间 (1,+∞) 上单调递增，则 r>12+1=2−1 ， 即 r 的取值范围为 (2−1,+∞) .

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