题目

已知{}是公差不为0的无穷等差数列．若对于{}中任意两项 ， ， 在{}中都存在一项 ， 使得 ， 则称数列{}具有性质P． （1） 已知 ， 判断数列{}，{}是否具有性质P； （2） 若数列{}具有性质P，证明：{}的各项均为整数； （3） 若 ， 求具有性质P的数列{}的个数． 答案： 解：因为an=3n，所以3(3mn)=3m×3n，所以对于{an}中任意两项am，an，在{an}中都存在一项ai=a3mn，使得ai=aman， 所以数列{ an }具有性质P，因为bn=3n+2，所以取n=1，m=2，则aman=5×8=40，因为40=3×13+1，所以不存在一项ai=40，所以数列{ bn }不具有性质P 证明：设数列{ an }的公差为d，因为数列{ an }具有性质P，所以存在ai使得ai=anan+1，同理，存在aj使得aj=anan+2，两式相减，得aj−ai=an(an+2−an+1)，即(j−i)⋅d=an⋅d，因为d≠0，所以an=j−i， 所以{ an }的各项均为整数． 解：由题意结合（2）知{ an }的各项均为整数，所以d为整数，首先证明d为正整数，否则假设d为负整数，则{ an }为递减数列，所以{ an }中各项的最大值为a1，由题设，{ an }中存在某项ak<0，且|ak|  >  |a1|，所以akak+1>a1，从而对任意正整数i，ai≠akak+1，这与{ an }具有性质P矛盾； 其次证明d为a1(a1−1)的约数，由ai=aman得，a1+(i−1)d=[a1+(m−1)d][a1+(n−1)d]，所以i−1=a1(a1−1)d+(m+n−2)a1+(m−1)(n−1)d，所以a1(a1−1)d为整数，即d为a1(a1−1)的约数， 由d为正整数，所以d为20×19的正约数，因为20×19=2×2×5×19，所以20×19的正约数共有3×2×2=12个，对于首项为20，20×19的正约数为公差的等差数列，易知其满足性质P，所以具有性质P的数列{ an }共有12个．

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