题目

已知函数 ， 对于任意n∈N+均有f（1）=n2+n．（1）求数列{an}的通项公式，并证明数列{an}为等差数列；（2）若n为偶数，且 ， 求数列{bn}的前n项和Sn ． 答案：解：（1）∵函数fx=a1x+a2x2+a3x3+⋯+anxn，对于任意n∈N+均有f（1）=n2+n．∴a1+a2+…+an=n2+n．∴当n=1时，a1=2；当n≥2时，a1+a2+…+an﹣1=（n﹣1）2+（n﹣1），可得an=2n．当n=1时也成立，∴an=2n．为等差数列，首项为2，公差为2．（2）f（﹣1）=﹣a1+a2﹣…﹣an﹣1+an，f（1）=a1+a2+…+an=n2+n．∴f（﹣1）+n2+n=2（a2+a4+…+a2k）=2×k4+4k2=n（2+n），∴f（﹣1）=n．∴bn=2f-1=2n，∴数列{bn}的前n项和Sn=22n-12-1=2n+1﹣2．

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