题目

已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围． 答案：【解答】（I）函数的f（x）的导数f′（x）=ax，∵过点A（2，f（2））的切线斜率为2，∴f′（2）=a2=2，解得a=4．（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a（1﹣1x）=a（lnx﹣1+1x）；则函数的导数g′（x）=a（1x-1x2）．令g′（x）＞0，即a（1x-1x2）＞0，解得x＞1，∴g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．∴g（x）最小值为g（1）=0，故f（x）≥a（1﹣1x）成立．（Ⅲ）令h（x）=alnx+1﹣x，则h′（x）=ax﹣1，令h′（x）＞0，解得x＜a．当a＞e时，h（x）在（1，e）是增函数，所以h（x）＞h（1）=0．当1＜a≤e时，h（x）在（1，a）上递增，（a，e）上递减，∴只需h（x）≥0，即a≥e﹣1．当a≤1时，h（x）在（1，e）上递减，则需h（e）≥0，∵h（e）=a+1﹣e＜0不合题意．综上，a≥e﹣1

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