题目

圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线C1： 过点P且离心率为 ． （1） 求C1的方程； （2） 若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程． 答案： 解：设切点P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则切线的斜率为 −x0y0 ， 可得切线的方程为 y−y0=−x0y0(−x0) ，化为x0x+y0y=4．令x=0，可得 y=4y0 ；令y=0，可得 x=4x0 ．∴切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形的面积S= 12⋅4y0⋅4x0 = 8x0y0 ．∵4= x02+y02≥2x0y0 ，当且仅当 x0=y0=2 时取等号．∴ s≥82=4 ．此时P (2，2) ．由题意可得 2a2−2b2=1 ， e=ca=1+b2a2=3 ，解得a2=1，b2=2．故双曲线C1的方程为 x2−y22=1 ． 解：由（1）可知双曲线C1的焦点（± 3 ，0），即为椭圆C2的焦点． 可设椭圆C2的方程为 x23+b12−y2b12=1 （b1＞0）．把P (2，2) 代入可得 23+b12−2b12=1 ，解得 b12 =3，因此椭圆C2的方程为 x26+y23=1 ．由题意可设直线l的方程为x=my+ 3 ，A（x1，y1），B（x2，y2），联立 {x=my+3x2+2y2=6 ，化为 (m2+2)y2+23my−3=0 ，∴ y1+y2=−23m2+m2 ， y1y2=−32+m2 ．∴x1+x2= m(y1+y2)+23 = 43m2+2 ，x1x2= m2y1y2+3m(y1+y2)+3 = 6−6m2m2+2 ． AP→=(2−x1，2−y1) ， BP→=(2−x2，2−y2) ，∵ AP→⊥BP→ ，∴ AP→⋅BP→=0 ，∴ x1x2−2(x1+x2) + y1y2−2(y1+y2)+4=0 ，∴ 2m2−26m+46−11=0 ，解得m= 362 -1或m= −(62−1) ，因此直线l的方程为： x−(362−1)y−3=0 或 x+(62−1)y−3=0

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