题目

如图，是的直径，弦于点E，点F是上一点，且.连接 ， ， 交于点N. （1） 若 ， ， 求的半径； （2） 求证：； （3） 连接并延长，交的延长线于点P，过点D作的切线，交的延长线于点M.求证：. 答案： 解：如图，连接AC，BC，BD，∵CD⊥AB，AB是直径∴BC⌢=BD⌢，CE=DE=12CD=3∴∠BCD＝∠BAC，且∠BEC＝∠CEA∴△BCE∽△CAE∴BECE=CEAE，即13=3AE，∴AE＝9∴AB＝AE+BE＝10∴⊙O的半径为5； 证明：∵BC⌢=BD⌢=CF⌢，∴∠BCD＝∠BDC＝∠CDF，且DE＝DE，∠BED＝∠NED＝90°∴△BDE≌△NDE（ASA）∴∠DBN＝∠DNB，BE＝EN∵∠DBA＝∠DFA，∠BND＝∠FNA∴∠FNA＝∠DFA∴AN＝AF； 证明：如图，连接NC，CO，DO，∵MD是切线，∴MD⊥DO，∴∠MDO＝∠DEO＝90°，∠DOE＝∠DOE∴△MDO∽△DEO∴DOEO=MODO，∴OD2＝OE•OM∵AE＝EN，CD⊥AO∴∠BNC＝∠CBN，∴∠CBP＝∠CNO，∵BC⌢=CF⌢，∴∠BOC＝∠BAF∵CO//AF∴∠PCO＝∠PFA∵四边形BCFA是圆内接四边形∴∠PBC＝∠PFA∴∠PBC＝∠PFA＝∠PCO＝∠CNO，且∠POC＝∠COE∴△CNO∽△PCO∴COPO=NOCO，∴CO2＝PO•NO，∴ON•OP＝OE•OM.

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