题目

已知双曲线 与椭圆 有共同的焦点，点 在双曲线C上． （1） 求双曲线C的方程及渐近线方程； （2） 以 为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程． 答案： 因为椭圆 x218+y214=1 的焦点坐标为 (±2，0) ，所以双曲线的焦点坐标为 (±2，0) ， 又因为 A(3，7) 在双曲线上，所以 {9a2−7b2=1c=2c2=a2+b2 ，所以 a2=b2=2 ， 所以双曲线的方程为： x22−y22=1 ，渐近线方程为 x±y=0 ； 设 A(x1，y1)，B(x2，y2) ，所以 {x12−y12=2x22−y22=2 ，所以 x12−x22=y12−y22 ， 所以 x1+x2y1+y2=y1−y2x1−x2 ，又因为 x1+x2=2xP=2，y1+y2=2yP=4 ， 所以 y1−y2x1−x2=kAB=12 ，所以弦 AB 所在直线的方程为： y−2=12(x−1) ，即 x−2y+3=0 .

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