题目

如图①，点F，G分别在直线AB，CD上，且AB CD. （1） 问题发现：若∠BFE＝40°，∠CGE＝130°，则∠GEF的度数为 ； （2） 拓展探究：∠GEF，∠BFE，∠CGE之间有怎样的数量关系？并说明理由. （3） 深入探究：如图②，∠BFE的平分线FQ所在直线与∠CGE的平分线相交于点P，试探究∠GPQ与∠GEF之间的数量关系，请直接写出你的结论. 答案： 【1】90° ∠GEF＝∠BFE+180°﹣∠CGE， 证明：如图1，由（1）知：AB // CD // EH， ∴∠HEF＝∠BFE，∠HEG+∠CGE＝180°， ∴∠HEF+∠HEG＝∠BFE+180°﹣∠CGE， ∴∠GEF＝∠BFE+180°﹣∠CGE ∠GPQ+ 12 ∠GEF＝90°， 理由是：如图2，∵FQ平分∠BFE，GP平分∠CGE， ∴∠BFQ＝ 12 ∠BFE，∠CGP＝ 12 ∠CGE， 在△PMF中，∠GPQ＝∠GMF﹣∠PFM＝∠CGP﹣∠BFQ， ∴∠GPQ+ 12 ∠GEF＝ 12 ∠CGE﹣ 12 ∠BFE+ 12 ∠GEF＝ 12 ∠CGE﹣ 12 ∠BFE+ 12 （∠BFE+180°﹣∠CGE）＝ 12 ×180°＝90°.

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