题目

在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为. （1） 求直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程； （2） 若过极点O的直线交l于点M，交C于点N，求的最小值. 答案： 解：由{x=6+3ty=−t(t为参数)，得x=6−3y，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以直线l的极坐标方程为ρcosθ+3ρsinθ=6，即ρsin(θ+π6)=3；由ρ=2cosα，得ρ2=2ρcosα，又x2+y2=ρ2，x=ρcosα，所以曲线C的直角坐标方程为x2−2x+y2=0，即(x−1)2+y2=1； 解：由(1)知，直线l的极坐标方程为ρ=3sin(θ+π6)，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosα，设直线l1的极角为θ0，由题意得0<θ0<π2，|OM|=|3sin(θ0+π6)|，|ON|=|2cosθ0|，所以|OM||ON|=|OMON|=|32cosθ0⋅sin(θ0+π6)|，又2cosθ0⋅sin(θ0+π6)=2cosθ0(32sinθ0+12cosθ0)=3cosθ0sinθ0+cos2θ0=32sin2θ0+12cos2θ0+12=sin(2θ0+π6)+12，所以|OM||ON|=|32cosθ0⋅sin(θ0+π6)|=|3sin(2θ0+π6)+12|，当sin(2θ0+π6)=1即θ0=π6时，|OM||ON|取得最小值，且最小值为|31+12|=2.

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