题目

如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， ， .（Ⅰ）若 是 的中点，求证： 平面 ；（Ⅱ）若 ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值. 答案：解：（Ⅰ）连接 AC 交 BD 于 G ，连接 EG .在三角形 ACP 中，中位线 EG//PC ，且 EG⊂ 平面 BED ， PC⊄ 平面 BED ，∴ PC// 平面 BED （Ⅱ）设 CD=2 ，则 AB=BC=AD=PD=2 ，且 PE=23PA .分别以 DA，DC，DP 为 x，y，z 轴的正方向建立坐标系，则 D(0，0，0)，A(2，0，0)，E(43，0，23)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，P(0，0，2)∴ DB⇀=(2，2，0)，DE⇀=(43，0，23)，PB⇀=(2，2，−2) ，设平面 BED 的一个法向量为 n⇀=(x，y，z) ，则 {n⇀⋅DB⇀=0n⇀⋅DE⇀=0⇒{2x+2y=043x+23z=0 ，令 x=−1 ，则 y=1 ，∴ z=2 ∴ n⇀=(−1，1，2)设直线 PB 与平面 BED 所成的角为 α ，则 sinα=|cos〈n⇀，PB⇀〉|=|PB⇀⋅n⇀||PB⇀|⋅|n⇀|=23所以 PB 与平面 BED 所成角的正弦值为 23

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