题目

已知 ， ． （1） 求 及 的值； （2） 求 的值． 答案： 因为 tanα=13 ，所以 tan(π4+α)=tanπ4+tanα1−tanπ4⋅tanα=1+131−1×13=2 因为 1−sinβ=cos2β=1−2sin2β ，即 2sin2β−sinβ=0 ， 解得： sinβ=12 或 sinβ=0 因为 β∈(π2，π) ，所以 sinβ>0 ，所以 sinβ=12 . 因为 tanα=sinαcosα=13 ，且 sin2α+cos2α=1 ， 解得： sin2α=110 ， cos2α=910 ， 因为 α∈(0，π2) ，所以 sinα>0 ， cosα>0 ， 所以 sinα=1010 ， cosα=31010 ， 因为 sinβ=12 ， β∈(π2，π) ，所以 cosβ=−1−sin2β=−1−(12)2=−32 ， 所以 cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=31010×(−32)+1010×12=10−33020 .

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