题目

如图，是的直径，是上的一点，连接，，是上的一点，过点作的垂线，与线段交于点，点在线段的延长线上，且满足 . （1）求直线与的公共点个数，并说明理由；（2）当点恰为中点时，若的半径为，，求线段的长. 答案：解：连接OC， ∵OB=OC ， ∴∠B=∠OCB ， ∵CF=EF ， ∴∠FCE=∠FEC ， ∵∠BED=∠FEC ， ∵∠BED=∠FCE ， ∵DF⊥AB ， ∴∠BDE=90° ， ∴∠B+∠BED=90° ， ∴∠OCB+∠FCE=90° ， ∴∠OCF=90° ， ∴CF是 ⊙O 的切线， ∴直线CF与 ⊙O 的公共点个数有1个；解：∵AB是 ⊙O 的直径， ∴∠ACB=90° ， ∵⊙O 的半径为10， ∴AB=20 ， ∵sinB=ACAB=35 ， ∴ AC=3AB5=3×205=12 ， ∴ BC=AB2−AC2=202−122=16 ， ∵点E为BC中点， ∴ CE=BE=8 ， ∵ ∠ACB=∠BDE=90° ， ∠B=∠B ， ∴ △BDE∽△BCA ， ∴ DEAC=BEAB ， ∴ DE12=820 ， ∴ DE=245 ，过F作 FH⊥CE 于H， ∵ CF=EF ， ∴ EH=12CE=4 ， ∵ ∠EHF=∠BDE=90° ， ∠FEH=∠BED ， ∴ △EFH∽△EBD ， ∴ DEEH=BEEF ， ∴ 2454=8EF ， ∴ EF=203 ， ∴ CF=EF=53 .

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