题目

已知函数 满足如下条件：①函数 的最小值为 ，最大值为9；② 且 ；③若函数 在区间 上是单调函数，则 的最大值为2.试探究并解决如下问题： （1） 求 的解析式； （2） 设 ， 是函数 的零点，求 的取值集合. 答案： 解：因为 a>0 ， 0≤sin2(ωx+φ)≤1 ， 所以， f(x)max=b=9 ， f(x)min=b−2a=−3 ， 所以 b=9 ， a=6 . 所以， f(x)=9−12sin2(ωx+φ)=9−6[1−cos(2ωx+2φ)] =3+6cos(2ωx+2φ) . 因为，若 f(x) 在区间 [m,n] 上是单调函数， 则 n−m 的最大值为2，所以 T2=2 ， 所以 T=4 ，所以 2ω=2πT=π2 ，即 ω=π4 ， 所以 f(x)=6cos(π2x+2φ)+3 . 因为 f(12)=3 ，所以 cos(π4+2φ)=0 . 因为 |φ|<π2 ，所以 φ=π8 ，或 φ=−3π8 . ∵ f(1)>0 ，所以， φ=−3π8 . 所以， f(x)=6cos(π2x−3π4)+3=6sin(π2x−π4)+3 . 解：令 f(x)=0 ，则 sin(π2x−π4)=−12 ， 所以，函数 f(x) 的零点都满足： π2x−π4=2kπ−π6(k∈Z) ，或 π2x−π4=2kπ+π+π6(k∈Z) . 因为 x1 ， x2 是函数 f(x) 的零点， 所以 π2(x1+x2)−π2=2kπ±π3 或 2kπ+π(k∈Z) ， 即 π4(x1+x2)=kπ+π12 或 kπ+3π4 或 kπ+5π12(k∈Z) . 故 tan(x1+x2)π4 的值的集合为 {2−3,−1,2+3} .

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