题目

规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． （1） 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，请写出图中两对“等角三角形”． （2） 如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°。求证：CD为△ABC的等角分割线． （3） 在△ABC中，∠A＝42°，CD是△ABC的等角分割线，若△ACD是等腰三角形，请直接写出∠ACB的度数． 答案： 解：因为∠A=∠A，∠ACB=∠ADC，根据三角形内角和可得∠ACD=∠B，故△ABC与△ACD是“等角三角形”； 因为∠B=∠B，∠ACB=∠BDC，根据三角形内角和可得∠DCB=∠A，故△ABC与△BCD是“等角三角形”； 因为∠ACD=∠B，∠ADC=∠BDC，∠DCB=∠A，故△ACD与△BCD是“等角三角形”. 证明：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60° ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80° ∵CD为角平分线， ∴∠ACD＝∠DCB＝ 12 ∠ACB＝40°， ∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠A，∴CD＝DA， ∵在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°， ∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠B＝80°， ∴∠BDC＝∠ACB， ∵CD＝DA，∠BDC＝∠ACB，∠DCB＝∠A，∠B＝∠B， ∴CD为△ABC的等角分割线； 解：有三种情况.①当DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝42°， ∴∠ACB＝∠BDC＝42°+42°＝84°， ②当DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝69°， ∠BCD＝∠A＝42°， ∴∠ACB＝69°+42°＝111°， ③当AC＝DC时，∠ADC＝∠A＝42°， ∴∠BDC＝180°－42°＝138°＝∠ACB, 此时∠B＝180°－42°－138°＝0°,舍去. ∴∠ACB的度数为84°或111°．

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