题目

如图，等边中， ． （1） 尺规作图：在图1中作点A关于的对称点C，连接 ， 并证明四边形是菱形； （2） 在（1）的条件下，点O是四边形对角线交点，动点E，F，G分别在线段上，且满足 ， H是中点；①当时，求证；②当时，求长度． 答案： 作∠BAD的平分线，交BD于O，截取OC=OA，点C即为所作；∵△ABD是等边三角形，AC是∠BAD的平分线，∴AC垂直平分BD，AB=AD，∴AC⊥BD，OD=OB，∵OC=OA，∴BD垂直平分AC，∴AD=DC，AB=BC，∴AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形； ①证明：如图，作EP⊥CF，连接PH，作HQ∥EP交EF于M，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAC=∠DCA=∠BAC=∠BCA=30°，∠CDB=60°，∠ADC=120°，BD⊥AC，AB∥CD，∴EP∥BD，HQ∥OD，∴EP//MH.∵EF∥AD，∴∠EFC=∠DAC=∠DCA，∠FEC=∠ADC=120°，∠DEF=60°，∴EF=CE，∵EF=CE，∴P是CF的中点，∵H是FG中点，∴PH∥CG，∴∠OPH=∠ACB=30°，∵OH∥AB，AB∥CD，∴∠POH=∠BAC=30°=∠OPH，OH∥CD，∴OH=PH，∴四边形ODQH是平行四边形，∠CQH=∠CDB=60°，∴DQ=OH，∵EF//AD，AD//BC，∴EF//PH，即PH∥ME，∴四边形MEPH是平行四边形，∴PH=ME，∵∠QEM=60°=∠MQE，∴△MEQ是等边三角形，∴QE=ME=PH，∴DE=DQ+QE=OH+PH=2OH，∴OH=12DE；②解：∵菱形ABCD，AB=8，∴OB=12BD=12AB=4，∵∠DBC=60°，OH⊥BC，∴∠BOP=30°，∴BP=2，CP=6，∵∠BCD=60°，∠EGC=∠FEG=90°，∴∠CEG=30°，∴CE=2CG，如图，作EN⊥CF于H，连接HN，过H点作QH⊥EF于Q，延长QH，交BC于P，∵EF//BC，EF⊥EG，∴EG⊥BC，∴∠QEG=∠EGP=90°.∵QH⊥EF，∴∠EQH=90°.∴四边形EGPQ是矩形，∴QE=PG，PQ=EG，由①可知，EF=CE，HN∥CG，HN=12CG，∴∠OHN=∠QPC=90°，∠ONH=∠BCA=30°，设CG=a，PG=b，则EF=CE=2a，∴PQ=EG=CE2−CG2=3a，HN=12a，∴QE=PG=b，FQ=EF−QE=2a−b，∴a+b=6，在△FHQ与△GHP中，∠FQH=90°=∠GPH∠FHQ=∠GHPFH=GH∴△FHQ≌△GHPAAS，∴QH=PH=12PQ=32a，由题意知，OF=2OQ，ON=2OH，由勾股定理得，FQ=OF2−OQ2=3OQ=2a−b，解得，OQ=32a−b3，同理，OH=36a，∵QH=OQ+OH，∴32a−b3+36a=32a，解得，a=b，∴a=b=3，∴OH=32，∴OH的长为32．

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