题目

设a,b,c∈R,已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=cx2+bx+a,且当|x|≤1时,|f(x)|≤2.(1)求证:|g(1)|≤2;(2)求证:|x|≤1时,|g(x)|≤4. 答案：证明:(1)∵|x|≤1时,|f(x)|≤2,∴令x=1,|f(1)|=|a+b+c|≤2.∴|g(1)|=|c+b+a|≤2.(2)∵|x|≤1时,|f(x)|≤2,∴|f(0)|=|c|≤2,|f(-1)|=|a-b+c|≤2.∴|g(x)|=|cx2+bx+a|=|(cx2-c)+(c+bx+a)|≤|c||x2-1|+|c+bx+a|.∵|x|≤1,∴|x2-1|≤1.又|c|≤2,∴|c||x2-1|≤2.∵u=c+bx+a在［-1,1］上单调,∴|c+bx+a|≤max{|c-b+a|,|c+b+a|}.又|c-b+a|≤2,|c+b+a|≤2,∴|c+bx+a|≤2.∴|g(x)|≤|c||x2-1|+|c+bx+a|≤2+2=4.

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