题目

如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将▱ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGH，点A的对应点为点H，点D的对应点为点G． （1） 当点H与点C重合时．①填空：点E到CD的距离是___；②求证：△BCE≌△GCF；③求△CEF的面积； （2） 当点H落在射线BC上，且CH=1时，直线EH与直线CD交于点M，请直接写出△MEF的面积． 答案： 解：如图1，​①作CK⊥AB于K，∵∠B=60°，∴CK=BC•sin60°=4×32=23，∵C到AB的距离和E到CD的距离都是平行线AB、CD间的距离，∴点E到CD的距离是23，故答案为23；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠D=∠B，∠A=∠BCD，由折叠可知，AD=CG，∠D=∠G，∠A=∠ECG，∴BC=GC，∠B=∠G，∠BCD=∠ECG，∴∠BCE=∠GCF，在△BCE和△GCF中，∠B=∠G∠BCE=∠GCFBC=GC，∴△BCE≌△GCF（ASA）；③过E点作EP⊥BC于P，∵∠B=60°，∠EPB=90°，∴∠BEP=30°，∴BE=2BP，设BP=m，则BE=2m，∴EP=BE•sin60°=2m×32=3m，由折叠可知，AE=CE，∵AB=6，∴AE=CE=6﹣2m，∵BC=4，∴PC=4﹣m，在Rt△ECP中，由勾股定理得（4﹣m）2+（3m）2=（6﹣2m）2，解得m=54，∴EC=6﹣2m=6﹣2×54=72，∵△BCE≌△GCF，∴CF=EC=72，∴S△CEF=12×72×23=732； 解：①当H在BC的延长线上，且位于C点的右侧时时，如图2，过E点作EQ⊥BC于Q，∵∠B=60°，∠EQB=90°，∴∠BEQ=30°，∴BE=2BQ，设BQ=n，则BE=2n，∴QE=BE•sin60°=2n×32=3n，由折叠可知，AE=HE，∵AB=6，∴AE=HE=6﹣2n，∵BC=4，CH=1，∴BH=5，∴QH=5﹣n，在Rt△EHQ中，由勾股定理得（5﹣n）2+（3n）2=（6﹣2n）2，解得n=1114，∴AE=HE=6﹣2n=317，∵AB∥CD，∴△CMH∽△BEH，∴MHHE=CHBH，即MH317=15，∴MH=3135，∴EM=317﹣3135=12435∴S△EMF=12×12435×23=124335．②如图3，当H在线段BC上时，过E点作EQ⊥BC于Q，∵∠B=60°，∠EQB=90°，∴∠BEQ=30°，∴BE=2BQ，设BQ=n，则BE=2n，∴QE=BE•sin60°=2n×32=3n，由折叠可知，AE=HE，∵AB=6，∴AE=HE=6﹣2n，∵BC=4，CH=1，∴BH=3∴QH=3﹣n在Rt△EHQ中，由勾股定理得（3﹣n）2+（3n）2=（6﹣2n）2，解得n=32∴BE=2n=3，AE=HE=6﹣2n=3，∴BE=BH，∴∠B=60°，∴△BHE是等边三角形，∴∠BEH=60°，∵∠AEF=∠HEF，∴∠FEH=∠AEF=60°，∴EF∥BC，∴DF=CF=3，∵AB∥CD，∴△CMH∽△BEH，∴CMBE=CHBH，即CM3=13，∴CM=1∴EM=CF+CM=4∴S△EMF=12×4×23=43．综上，△MEF的面积为124335或43．

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