题目

在直角梯形中，已知 ， ， ， 动点、分别在线段和上，且 ， ． （1） 当时，求的值； （2） 求向量的夹角； （3） 求的取值范围． 答案： 解：当λ=23时，依题意知，BF⃗=23BC⃗，DE⃗=13DC⃗，DC⃗=12AB⃗，则AC⃗=AD⃗+DC⃗=AD⃗+12AB⃗，CB⃗=AB⃗−AC⃗=12AB⃗−AD⃗，因为EF⃗=AF⃗−AE⃗，AF⃗=AB⃗+BF⃗=AB⃗+23BC⃗=AB⃗+23(AD⃗−12AB⃗)=23(AD⃗+AB⃗)，AE⃗=AD⃗+DE⃗=AD⃗+13DC⃗=AD⃗+16AB⃗.所以EF⃗=AF⃗−AE⃗=−13AD⃗+12AB⃗.AC⃗⋅EF⃗=(AD⃗+12AB⃗)⋅(−13AD⃗+12AB⃗)=−13AD⃗2+14AB⃗2+13AB⃗⋅AD⃗.因为AB⃗=2DC⃗，AD⃗=CD⃗=1，AD⊥AB，所以AB⃗=2，AD⃗⋅AB⃗=0，所以AC⃗⋅EF⃗=23. 解：由（1）知CB⃗=AB⃗−AC⃗=12AB⃗−AD⃗.因为BF⃗=λBC⃗，DE⃗=1−λDC⃗，所以AE⃗=AD⃗+DE⃗=AD⃗+(1−λ)DC⃗=AD⃗+(1−λ)2AB⃗，AF⃗=AB⃗+BF⃗=AB⃗+λBC⃗=AB⃗+λ(AD⃗−12AB⃗)=λAD⃗+(1−λ2)AB⃗，则EF⃗=AF⃗−AE⃗=(λ−1)AD⃗+12AB⃗，因为AB⃗=2，AD⃗=1，AD⃗⋅AB⃗=0，所以AE⃗⋅EF⃗=(λ−1)AD⃗2+1−λ4AB⃗2+−λ2+2λ2AD⃗·AB⃗=λ−1+1−λ=0，故向量AE⃗，EF⃗的夹角为90∘. 解：由（2）可知：AE⃗=AD⃗+DE⃗=AD⃗+(1−λ)DC⃗=AD⃗+(1−λ)2AB⃗，AF⃗=AB⃗+BF⃗=AB⃗+λBC⃗=AB⃗+λ(AD⃗−12AB⃗)=λAD⃗+(1−λ2)AB⃗.则AE⃗+12AF⃗=1+λ2AD⃗+1−3λ4AB⃗.因为AB⃗=2，AD⇀=1，AD⃗⋅AB⃗=0，所以AF⃗+12AE⃗2=1+λ22AD⃗2+41−3λ42AB⃗2+21+λ21−3λ4AD⃗⋅AB⃗=1+λ22⋅|AD⃗|2+1−3λ42⋅|AB⃗|2=52λ2−5λ+5=52(λ−1)2+52，由题意知，λ∈0,1，所以AF⃗+12AE⃗2的取值范围是52,5，∴AE⃗+12AF⃗的取值范围是102,5.

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