题目

三棱柱中，为中点，点在线段上， ． 设 ，   （1） 试用表示向量； （2） 若 ， 求的长． 答案： 解：三棱柱ABC−A1B1C1中，N为B1C1中点，点M在线段A1B上，3A1M=A1B，则B1N→=12B1C1→，MA1→=13BA1→，因此MN→=MA1→+A1B1→+B1N→=13BA1→+AB→+12B1C1→=13(c→−a→)+a→+12(b→−a→)=16a→+12b→+13c→. 解：∠BAC=∠BAA1=∠CAA1=60°，AB=AC=AA1=1，则a→⋅b→=|a→||b→|cos∠BAC=cos60∘=12，同理得a→⋅b→=b→⋅c→=12，所以|MN→|=16(a→+3b→+2c→)2=16a→2+9b→2+4c→2+6a→⋅b→+12b→⋅c→+4a→⋅c→=161+9+4+3+6+2=56.

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