题目

已知函数 . （1） 当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2） 若 的最大值为 ，求a的值； （3） 若对于任意的 ，当 时，都有不等式 成立，求a的取值范围. 答案： 当 a=1 时， f(x)=lnx−12x，f(1)=−12，f′(x)=1x−12 . 所以 f′(1)=12 . 所以，曲线 y=f(x) 在点 (1，f(1)) 处的切线方程为 y+12=12(x−1) ，即 x−2y−2=0 . f′(x)=2−ax2x，x∈(0，+∞) . （i）当 a≤0 时， f′(x)>0 在 (0，+∞) 上恒成立， 所以 f(x) 在区间 (0，+∞) 上单调递增， f(x) 无最大值. （ii）当 a>0 时，令 f′(x)<0 ，解得 x>2a ，令 f′(x)>0 ，解得 0<x<2a . 所以 f(x) 在区间 (0，2a) 上单调递增，在区间 (2a，+∞) 上单调递减. 所以， f(x)max=f(2a)=ln2a−1 . 令 ln2a−1=−1 ，解得 a=2 . 因为 x1<x2 ，所以，不等式 f(x1)−f(x2)x1−x2<1x1x2 可化为 f(x1)−f(x2)>1x2−1x1 ，即  f(x1)+1x1>f(x2)+1x2 设 h(x)=f(x)+1x ，所以，原不等式可化为 h(x1)>h(x2) . 故h h(x)=lnx−12ax+1x 在 [e−1，e] 上单调递减. 因为 h′(x)=1x−1x2−a2 ， 所以， 1x−1x2−a2≤0 在 [e−1，e] 上恒成立. 即 a≥−2x2+2x=−2(1x−12)2+12 在 [e−1，e] 上恒成立. 因为 x∈[e−1，e] ， 所以，当 x=2 时， [−2(1x−12)2+12]max=12 . 所以，a的取值范围是 [12，+∞) .

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