题目

已知定义在R上的函数f(x)ax3+bx2+cx+d(a、b、c、d∈R)． (1)若f(x)在(-∞，-1)和(3，+∞)上都是增函数，在(-1，3)上是减函数，且f(0)=-7，f′(0)=-18，求函数f(x)的表达式；(2)若a、b、c满足b2-3ac＜0，求证：f(x)在(-∞，+∞)上是单调函数；(3)设a＞0，x1、x2是函数g(x)=f(x)-ax3-x2-a(a2+c)x的两个极值点，且|x1|+|x2|=2，证明：0＜a≤1．  答案：解：(1)由f(0)=-7，f′(0)=-18，得d=-7，c=-18． ∵f(x)在(-1，3)上是减函数，在(3，+∞)上是增函数，∴-1和3是f′(x)=3ax2+2bx-18=0的两根，∴ 解得．∴f(x)=2x3-6x2-18x-7(2)对于f′(x)=3ax2+2bx+c，由b2-3ac＜0，得△=4b2-12ac=4(b2-3ac)＜0．∴当a＞0时，f′(x)＞0恒成立，则f(x)是增函数；当a＜0时，f′(x)＜0恒成立，则f(x)是减函数．故对于任意实数x,f(x)总是单调函数．(3)∵x1，x2是方程g′(x)=ax2+bx-a2=0的两个根．∴x1+x2=，x1x2=-a＜0∴|x1|+|x2|=|x1-x2|==2∴b2=4a2-4a3≥0  ∴0＜a≤l

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