题目

如图1，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将Rt△ABC绕C点顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到Rt△DCE （1）当α＝15°，则∠ACE＝°；（2）如图2，过点C作CM⊥BF于M ，作CN⊥EF于N，证明：CF平分∠BFE （3）求Rt△ABC绕C点顺时针旋转，当旋转角α（0°＜α＜90°）为多少度时，△CFG为等腰三角形答案：【1】15 解：证明：由旋转性质可知，△ACB≌△ECD ∴AB=DE S△ABC=S△EDC ∴ 12 AB·CM= 12 DE·CN ∴CM=CN， ∵CM⊥BF，CN⊥FE， ∴CF平分∠BFE 解：∵∠ACB=90°，∠BAC=30°， ∴∠B=180°-∠ACB-∠BAC=60°，根据旋转性质可知， ∠D=∠B=60°， ∠BCD=a， ∵∠B+∠BCD=∠D+∠BFD， ∴∠BFD=∠BCD=α， ∴∠BFD=∠AFG=α， ∴∠CGF=∠GFA+∠A=α+30°， ∠BFE=180°-∠GFA=180°-α，由(2)知CF平分∠BFE， ∴∠CFB=∠CFG= 12 ∠BFE=90°- 12 α ∴∠AFC=∠CFG-∠AFG=90°- 12 α+α=90°+ 12 α ∴∠FCG=180°-∠AFC-∠BAC=180°-90°- 12 α-30°= 60°- 12 α 分类讨论： (1) 当CF=CG时，∠CFG=∠CGF， ∴90°- 12 α=α+30° 解得α=40°； (2) 当FC=FG时，∠FCG=∠CGF， ∴60°- 12 a=α+30°，解得α=20 (3)GC=GF时，∠FCG=∠CFG， 60°- 12 α=90°- 12 α， α无解综上所述，α=40°或20°，答： Rt△ABC绕C点顺时针旋转α(0° <α<90°)为40°或20°时， △CFG为等腰三角形

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