题目

已知数列 的前 项和为 ，且 ， ． （1） ，求证数列 是等比数列； （2） 设 ，求证数列 是等差数列； （3） 求数列 的通项公式及前 项和 ． 答案： 解：由题意， Sn+1=4an+2 ， Sn+2=4an+1+2 ， 两式相减，得 Sn+2−Sn+1=4(an+1−an),an+2=4an+1−4an ， ∴an+2−2an+1=2 (an+1−2an) ， ∵bn=an+1−2an, ∴bn+1=2bn ， 又由题设，得 1+a2=4+2=6 ，即 a2=5 ， ∴b1=a2−2a1=3 ， ∴ {bn} 是首项为3，公比为2的等比数列 解：由（1）得 bn=3⋅2n−1 ， ∴bn=an+1−2an=3⋅2n−1 ， ∴an+12n+1−an2n=34 ，即 cn+1−cn=34 ． ∴数列 {cn} 是首项为 12 ，公差为 34 的等差数列 解：由（2）得， cn=12+34(n−1)=34n−14 ， 即 an2n=34n−14 ，∴ an=(3n−1)2n−2 ． 则 Sn=4an−1+2=(3n−4)⋅2n−1+2

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