题目

如图，四边形ABCD为矩形，O为AC中点，过点O作AC的垂线分别交AD、BC于点E、F，连接AF、CE． （1） 求证：四边形AFCE是菱形． （2） 若AC=8，EF=6，求BF的长. 答案： 证明：∵O为AC中点，EF⊥AC，∴EF为AC的垂直平分线，∴EA=EC，FA=FC，∴∠EAC=∠ECA，∠FAC=∠FCA．∵AE∥CF，∴∠EAC=∠FCA，∴∠FAC=∠ECA，∴AF∥CE，∴四边形AFCE平行四边形，又∵EA=EC，∴平行四边形AFCE是菱形． 解：∵四边形AFCE是菱形，AC=8，EF=6，∴OE=3，OA=4，又∵EF⊥AC，∴AE=CF=5，设BF=x，在Rt△ABF中，AB2=AF2﹣BF2，在Rt△ABC中，AB2=AC2﹣BC2．∴52﹣x2=82-（x+5）2，解得 x=75，∴ BF=75．

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