题目

已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆E的离心率为 ， 过且不与坐标轴垂直的直线与椭圆E交于A，B两点，的周长为8． （1） 求椭圆E的标准方程； （2） 过且与垂直的直线与椭圆E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值． 答案： 解：由题意，椭圆E的离心率为12，可得ca=12，又由椭圆的定义，可知|AB|+|AF1|+|AF2|=4a=8，所以a=2，所以c=1， 又因为a2=b2+c2，所以b2=3，所以椭圆E的标准方程为x24+y23=1． 解：设A(x1，y1)B(x2，y2)，直线l的方程为x=my+1，由{x24+y23=1x=my+1，整理得(3m2+4)y2+6my−9=0，则有y1+y2=−6m3m2+4，y1⋅y2=−93m2+4，故 |AB|=(1+m2)[(y1+y2)2−4y1y2]=(1+m2)[(−6m3m2+4)2+363m2+4]=12×m2+13m2+4，又由直线l'的方程为x=−1my−1，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，联立方程组{x24+y23=1x=−1my−1，整理得(3m2+4)y2+6my−9=0，则有y3+y4=−6m3m2+4，y3⋅y4=−93m2+4， 则|CD|=(1+1m2)[(y3+y4)2−4y3y4]=12×1m2+13m2+4=12×m2+14m2+3， 所以四边形ABCD的面积：S=12|AB||CD|=72×m2+13m2+4×m2+14m2+3=72×m2+13(m2+1)+1×m2+14(m2+1)−1=72(3+1m2+1)(4−1m2+1)，因为(3+1m2+1)(4−1m2+1)≤(3+1m2+1+4−1m2+12)2=494，当且仅当m2=1时，等号成立， 所以S=72(3+1m2+1)(4−1m2=1)≥28849，综上，四边形ACBD面积的最小值为28849．

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