题目

已知直线 ： 与直线 ： 的距离为 ，椭圆 ： 的离心率为 . （1） 求椭圆 的标准方程； （2） 在（1）的条件下，抛物线 ： 的焦点 与点 关于 轴上某点对称，且抛物线 与椭圆 在第四象限交于点 ，过点 作抛物线 的切线，求该切线方程并求该直线与两坐标轴围成的三角形面积. 答案： 解：两平行直线间的距离 d=2 ，∴ a2=2 ， 离心率 e=ca=22 ，故 c=1 ， b=1 ， ∴椭圆 C 的标准方程为 x22+y2=1 解：由题意，抛物线 D 焦点为 F(18,0) ，故其方程为 y2=x2 . 联立方程组 {y2=x2x22+y2=1 ，解得 x=1 或 x=−2 （舍去），∴ Q(1,−22) . 设抛物线 y2=x2 在 Q(1,−22) 点处的切线为 y=k(x−1)−22 ， 联立方程组 {y2=x2y=k(x−1)−22 ，整理得 2ky2−y−22−k=0 ， 由 Δ=0 ，解之得 k=−24 ， ∴所求的切线方程为 y=−24(x−1)−22 ． 即是 x+22y+1=0 . 令 x=0 ，得 y=−24 ； 令 y=0 ，得 x=−1 . 故所求三角形的面积为 S=12×24×1=28 .

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