题目

（1） 问题呈现： 如图①，在一次数学折纸活动中，有一张矩形纸片ABCD，点E在AD上，点F在BC上，小华同学将这张矩形纸片沿EF翻折得到四边形 ， 交AD于点H，小华认为是等腰三角形，你认为小华的判断正确吗？请说明理由； （2） 问题拓展： 如图②，在（1）的条件下，当点C的对应点落在AD上时，已知 ， 写出a、b、c满足的数量关系，并证明你的结论；   （3） 问题应用： 如图③，在中， ． 将沿对角线AC翻折得到 ， 点D、C、E在一条直线上，求的面积． 答案： 解：小华的判断是正确的．理由如下： ∵在矩形ABCD中，AD∥BC， ∴∠HEF=∠EFC． 由折叠，得∠HFE=∠EFC， ∴∠HFE=∠HEF， ∴HE=HF， ∴△EFH是等腰三角形． 解：∴a2+b2=c2． 证明：∵在矩形ABCD中，∠D=90°， 由折叠，得∠D′=∠D=90°，D′E=DE=a，C′D′=CD=b，C′F=CF=c 由（1）得C′E=C′F=c． 在Rt△C′D′E中，D′E2+C′D′2=C′E2， ∴a2+b2=c2． 解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB=3，AD=4， ∴CD=AB=3． 由折叠性质可知，∠ACD=∠ACE， ∵点D、C、E在一条直线上， ∴∠ACD=∠ACE=90°， ∴AC=AD2−CD2=42−32=7， ∴S▱ABCD=2S△ACD=2×12AC⋅CD=37．

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