题目

如图，斜率为k的直线l与抛物线y2＝4x交于A、B两点，直线PM垂直平分弦AB，且分别交AB、x轴于M、P，已知P(4，0). （1） 求M点的横坐标； （2） 求 面积的最大值. 答案： 解：设 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ， M(x0 ， y0) ， 则 x0=x1+x22,y0=y1+y22 ， y12=4x1 ， y22=4x2 ， ∴ k=y1−y2x1−x2=4y1+y2=2y0 ， 而 kMP=y0x0−4 ， 由 k·kMP=−1 得 x0−4=−2 ，即 x0=2 解：设直线 AB:x=m(y−y0)+2 即 AB:x=my−my0+2 ， 与抛物线 y2=4x 联立得 y2−4my+4my0−8=0 ， 则 y1+y2=4m ， y1y2=4my0−8 ， 所以 |AB|=1+m2|y1−y2|=1+m2·16m2−16my0+32 ， 而 P 到直线 AB 的距离为 d=|my0+2|m2+1 ， 所以 SΔPAB=12d|AB|=2|my0+2|m2−my0+2 ， 又由于 m=1k=y02 ， 所以 SΔPAB=2(2m2+2)2−m2=4(m2+1)2−m2 ， 令 2−m2=t ，则 t>0 且 m2=2−t2 ， 所以 SΔPAB=4(3−t2)t=12t−4t3 ， 令 g(t)=12t−4t3(t>0) ， 则 g′(t)=12−12t2=12(1−t)(1+t) ， 当 0<t<1 ， g′(t)>0 ，当 t>1 时， g′(t)<0 ， 故 g(t)=12t−4t3⩽g(1)=8 ， 即 ΔPAB 面积的最大值为8

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