题目

已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形．  （1）若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长是____________；（2）若某函数是反比例函数，它的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，则m的值为_________，反比例函数解析式_________________。 ．  答案：（1）或 ；（2）1，y=解析:解：（1）如图1，当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴上时，∵OC=0D=1，∴正方形ABCD的边长CD=；∵当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，∴设正方形的边长为a，∴3a=CD=．∴a=，∴正方形边长为 ，∴一次函数y=x+1图象的伴侣正方形的边长为或 ；（2）如图2，作DE，CF分别垂直于x、y轴，∵AB=AD=BC，∠DAE=∠OBA=∠FCB，∴△ADE≌△BAO≌△CBF． ∵m＜2，∴DE=OA=BF=m，OB=CF=AE=2-m，∴OF=BF+OB=2，∴C点坐标为（2-m，2），设反比例函数的解析式为：，∵D（2，m），C（2-m，2）∴∴由②得：k=2m③，∴把k=2m代入①得：2m=2（2-m），∴解得m=1，k=2，∴反比例函数的解析式为y=． 

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