题目

如图所示，为等边三角形， ， 为的内心，点在以为圆心，为半径的圆上运动. （1） 求出的值. （2） 求的范围. （3） 若 ， 当最大时，求的值. 答案： 解：以I为原点，IA为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：由正弦定理得△ABC外接圆半径R=12×43sin60°=4，则A0,4，进而可得B−23,−2，C23,−2．因为点P在以I为圆心，1为半径的圆上运动，故设Pcosθ,sinθ，则PA⃗=−cosθ,4−sinθ，PB⃗=−23−cosθ,−2−sinθ，PC⃗=23−cosθ,−2−sinθ，所以PA⃗2+PB⃗2+PC⃗2=cos2θ+4−sinθ2+23+cosθ2+2+sinθ2+23−cosθ2+2+sinθ2=3cos2θ+sin2θ+48=51． 解：由（1）知PA⃗⋅PB⃗=23cosθ−2sinθ−7=−4sinθ−π3−7，又因为sinθ−π3∈−1,1，所以−11≤−4sinθ−π3−7≤−3，即PA⃗⋅PB⃗∈−11,−3. 解：因为0→=xPA⃗+yPB⃗+zPC⃗=23z−y−x+y+zcosθ,4x−2y−2z−x+y+zsinθ，所以cosθ=23z−yx+y+zsinθ=4x−2y−2zx+y+z，代入sin2θ+cos2θ=1，整理得5x2+5y2+5z2−6xy−6xz−6yz=0，x,y,z∈R，显然y≠0，两边同时除以y2，得5x2y2+5+5z2y2−6xy−6xzy2−6zy=0，令m=xy，n=zy，则5m2+5+5n2−6m−6mn−6n=0，即5n2−6m+6n+5m2−6m+5=0，所以Δ=6m+62−4×5×5m2−6m+5≥0，即m2−3m+1≤0，解得3−52≤m≤3+52，所以xy（即m）的最大值为3+52．此时Δ=0，所以n=3m+35，所以z=3m+35y，x=my，所以zx+y=3m+35ymy+y=35.​​​​​​​

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