题目

椭圆的左、右焦点分别为 ， 过作直线交E于两点．过作垂直于直线的直线交E于两点．直线与相交于点P． （1） 若直线的斜率为1，求直线的方程． （2） 求点P的轨迹方程． （3） 求四边形面积的取值范围． 答案： 解：由已知条件可知，a2=4，b2=3，则c2=a2−b2=1，所以F1−1,0，F21,0，因为直线l1的斜率为1，所以直线l2的斜率为−1，且直线l2过点F21,0，所以直线l2的方程为y=−x−1，即x+y−1=0. 解：设Px,y，依题意得出F1−1,0，F21,0，且PF1⃗⋅PF2⃗=0，又因为PF1⃗=−1−x,−y，PF2⃗=1−x,−y，所以−1−x1−x+y2=0，即x2+y2=1，故点P的轨迹方程为x2+y2=1. 解：依题意，S=12ABCD，过F1作平行于l2的直线交E于M,N两点，由对称性可知，CD=MN.①当l1的斜率为0或斜率不存在时，AB和CD是2a=4或2b2a=3，S=12×4×3=6；②当l1的斜率存在且不为0时，设l1:x=my−1，Ax1,y1，Bx2,y2，联立方程x=my−13x2+4y2−12=0，得3m2+4y2−6my−9=0，则Δ=144m2+1，y1+y2=6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，故AB=1+m2y1+y22−4y1y2=12m2+13m2+4，同理CD=MN=12−1m2+13−1m2+4=12m2+14m2+3，故S=12ABCD=72m2+123m2+44m2+3，令t=m2+1，t∈1,+∞，则S=72t23t+14t−1=72−1t2+1t+12，其中−1t2+1t+12=−1t−122+494∈12,494，故S∈28849,6，综上所述，S∈28849,6.  

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