题目

在正方形 中，点E在射线 上（不与点B、C重合），连接 ， ，将 绕点E逆时针旋转90°得到 ，连接 ． （1） 如图1，点E在 边上． ①依题意补全图1； ②若 ， ，求 的长； （2） 如图2，点E在 边的延长线上，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系． 答案： 解：①作图如图所示： ②作 FG⊥CB 交CB延长线于点G， ∵ ∠DEF=90° ， ∴ ∠DEC+∠GEF=90° ， ∵ ∠C=90° ， ∴ ∠EDC+∠DBC=90° ， ∴ ∠EDC=∠FEG ， 在△DEC和△EFG中， {∠C=∠G=90°∠EDC=∠FEGDE=FE ， ∴ △DEC≅△EFG ， ∴ EC=FG ， DC=EG=BC ， ∴ GB=EG−BE=BC−BE=EC=FG=2 ， ∴ BF=FG2+GB2=22 ； 解：作 FH⊥BC ， ∵ ∠CDE+∠DEC=90° ， 又 ∠DEF=90° ， ∠DEC+∠HEF=90° , ∴ ∠CDE=∠HEF ， 在△DCE和△EHF中， {∠DCE=∠BHF=90°∠CDE=∠HEFDE=EF ， ∴ △DCE≅△EHF ， ∴ CE=HF ， DC=EF ， ∵ BH+HC=BC=CD=EH=HC+CE ， ∴ BH=CE ， 设 BH=a ， HC=b ，则 FH=CE=a ， BC=CD=a+b ， ∴ BD=2BC=2(a+b) ， ∴ BF=BH2+HF2=2a ， ∴ BE=BH+HC+CE=2a+b ， ∴ BD+BF=22a+2b=2(2a+b)=2BE ， 即 BD+BF=2BE ．

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