题目

如图，在三棱锥 中， 平面ABC，D为BC的中点，F为PD的中点，E为线段AC上一点， ． （1） 证明： EF∥平面PAB； （2） 若经过点E在底面ABC内画一条直线与PD垂直，则应该怎样画？请说明理由． 答案： 取PB的中点G，AB上靠近点A的四等分点H，连接GF，GH，EH．因为F，G分别为PD，PB的中点， 所以 GF//BD ，且 GF=12BD ． 因为 AB=4AH ， AC=4AE ， 所以 HE//BC ，且 HE=14BC=12BD ． 所以 GF//HE ，且 GF=HE ，所以四边形 EFGH 是平行四边形， ∴EF∥GH 又∵GH在平面PAB内 ∴所以 EF∥ 平面PAB ． 连接AD，在底面ABC内过点E作直线 l⊥AD 即可． 因为 PA⊥ 平面ABC， l⊂ 平面ABC，所以 PA⊥l ． 又 l⊥AD ， PA∩AD=A ，所以 l⊥ 平面PAD． 又 PD⊂ 平面PAD，所以 l⊥PD ．

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