题目

加强儿童青少年近视防控，促进儿童青少年视力健康是中央关心、群众关切、社会关注的“光明工程”．为了解青少年的视力与学习成绩间的关系，对某地区今年初中毕业生的视力和中考成绩进行调查．借助视力表测量视力情况，测量值5.0及以上为正常视力，5.0以下为近视．现从中随机抽取40名学生的视力测量值和中考成绩数据，得到视力的频率分布直方图如图： 其中，近视的学生中成绩优秀与成绩一般的人数比例为 ，成绩一般的学生中视力正常与近视的人数比例为 ． 附： ，其中 ． 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 （1） 根据频率分布直方图的数据，将下面的 列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为视力情况与学习成绩有关； 学习成绩视力情况 视力正常 近视 合计 成绩优秀 成绩一般 合计 （2） 将频率视为概率，从该地区今年初中毕业生中随机抽取3人，设近视的学生数为 ，求 的分布列与期望． 答案： 解：根据频率分布直方图，在抽取的40名学生样本中，视力正常的有 2×0.2×40=16 人， 近视的有 40−16=24 ， 因为近视的学生中成绩优秀与成绩一般的比例是 1：2 ， 所以近视的学生中成绩优秀的有 24×13=8 ，成绩一般的有 24−8=16 人； 因为成绩一般的学生中视力正常与近视的人数比例为 3：4 ， 所以成绩一般的学生中，视力正常的学生有 16×34=12 人， 根据上述信息可填写下列 2×2 列联表： 视力正常 近视 合计 成绩优秀 4 8 12 成绩一般 12 16 28 合计 16 24 40 根据列联表的数据可得， K2=40×(4×16−8×12)216×24×28×12=2063≈0.317<2.706 ， 故没有90%的把握认为视力情况与学习成绩有关 解：以频率视为概率，样本中近视的概率为 2440=35 ， 视力正常的概率为 25 ， 由题意可知，近视的学生数 X 的所有可能取值为0，1，2，3， 以样本估计总体，可知 X∼B(3，35) ， 所以 P(X=0)=C30(35)0(25)3=8125 ， P(X=1)=C31(35)1(25)2=36125 ， P(X=2)=C32(35)2(25)1=54125 ， P(X=3)=C33(35)3(25)0=27125 ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 8125 36125 54125 27125 故 E(X)=0×8125+1×36125+2×54125+3×27125=95

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