题目

已知椭圆E: 的焦点在 轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点，点N在E上，MA⊥NA. （1） 当t=4， 时，求△AMN的面积； （2） 当 时，求k的取值范围. 答案： 解：当 t=4 时，椭圆E的方程为 x24+y23=1 ，A点坐标为 (−2 ，  0) ，则直线AM的方程为 y=k(x+2) ．联立 {x24+y23=1y=k(x+2) 并整理得， (3+4k2)x2+16k2x+16k2−12=0解得 x=−2 或 x=−8k2−63+4k2 ，则 |AM|=1+k2|−8k2−63+4k2+2|=1+k2⋅123+4k2因为 AM⊥AN ，所以 |AN|=1+(−1k)2⋅123+4⋅(1−1k)2=1+k2⋅123|k|+4|k|因为 |AM|=|AN| ， k>0 ，所以 1+k2⋅123+4k2=1+k2⋅123k+4k ，整理得 (k−1)(4k2−k+4)=0 ，4k2−k+4=0 无实根，所以 k=1 ．所以 △AMN 的面积为 12|AM|2=12(1+1⋅123+4)2=14449 解：直线AM的方程为 y=k(x+t) ，联立 {x2t+y23=1y=k(x+t) 并整理得， (3+tk2)x2+2ttk2x+t2k2−3t=0解得 x=−t 或 x=−ttk2−3t3+tk2 ，所以 |AM|=1+k2|−ttk2−3t3+tk2+t|=1+k2⋅6t3+tk2所以 |AN|=1+k2⋅6t3k+tk因为 2|AM|=|AN|所以 2⋅1+k2⋅6t3+tk2=1+k2⋅6t3k+tk ，整理得， t=6k2−3kk3−2 ．因为椭圆E的焦点在x轴，所以 t>3 ，即 6k2−3kk3−2>3 ，整理得 (k2+1)(k−2)k3−2<0解得 23<k<2

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