题目

已知函数 ， . （1） 当 时，解不等式 ； （2） 若关于x的方程 在区间 上有两个不等的实根，求实数a的取值范围. 答案： 解： f(x)=4x−(a+2)⋅2x+a+1<0 ∴(2x−1)[2x−(a+1)]<0 (*) 1° 当 1>a+1 ，即 −1<a<0 时 (*) 式化简为 a+1<2x<1 ，此时不等式解集为 (log2(a+1),0) . 2° 当 1=a+1 ，即 a=0 (*) 式化简为 (2x−1)2<0 ，此时不等式解集为空集. 3° 当 1<a+1 ，即 a>0 时 (*) 式化简为 1<2x<a+1 ，此时不等式解集为 (0,log2(a+1)) 综上： 1° 当 −1<a<0 时，不等式解集为 (log2(a+1),0) 2° 当 a=0 时，不等式解集为 ∅ 3° 当 a>0 时，不等式解集 (0,log2(a+1)) 解： ∵f(x)+f(−x)=0 在区间 (−1,2) 上有两个不等的实根 ∴4x−(a+2)⋅2x+a+1+4−x+(a+2)⋅2−x+a+1=0 在区间 (−1,2) 上有两个不等的实根. 方程化简为 (4x+4−x+2)−(a+2)(2x+2−x)+2a=0 即 (2x+2−x)2−(a+2)(2x+2−x)+2a=0 ∴2x+2−x=2 或 2x+2−x=a ∵2x+2−x=2 解得 x=0∈(−2,1) ∴x=0 是原方程其中一解 ∴ 由题意得方程 2x+2−x=a 在区间 (−1,2) 上只有一个非零解 令 t=2x ， t∈(12,1)∪(1,4) 即方程 t2−at+1=0 在 t∈(12,1)∪(1,4) 上只有一解 ①当 Δ=a2−4=0 时， a=±2 ，代入方程得到 t=±1 （舍去） ②当 Δ=a2−4>0 时，设 h(t)=t2−at+1 令 h(12)h(4)<0 ，得 52<a<174 . ③ Δ=a2−4>0 时，设方程 t2−at+1=0 的两个根为 t1 ， t2 则 t1t2=1 当 t1=12 时， t2=2∈(12,1)∪(1,4) 符合题意，此时 a=t1+t2=52 当 t1=4 时， t2=14∉(12,1)∪(1,4) 不符合题意，故舍去 综上：实数 a 的取值范围为 [52,174)

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