题目

如图，在四棱锥 ， ， ， 平面 ， . （1） 证明： ； （2） 求平面 与平面 夹角的余弦值. 答案： 证明：因为 PD⊥ 平面 ABCD ， AB⊂ 平面 ABCD ，所以 PD⊥AB . 又因为 AB⊥AP ， PD∩AP=A ，所以 AB⊥ 平面 PAD . 因为 AD⊂ 平面 PAD ，所以 AB⊥AD . 又因为 AD//BC ，所以 AB⊥BC . 连接 BD .因为 AP=BC=2AB=2AD ，所以 tan∠ABD=ADAB=22 ， tan∠ACB=ABBC=22 ， 得 ∠ABD=∠ACB ，又 ∠ACB+∠CAB=π2 ，所以 ∠ABD+∠CAB=π2 ，即 AC⊥BD . 因为 PD⊥ 平面 ABCD ， AC⊂ 平面 ABCD ，所以 PD⊥AC ，又 PD∩BD=D ， 所以 AC⊥ 平面 PBD ，因为 PB⊂ 平面 PBD ，所以 PB⊥AC . 解：由（1）知 PD⊥ 平面 ABCD ， AB⊥AD ，以 D 为原点，以 DA 所在直线为 x 轴，过点 D 与 AB 平行的直线为 y 轴， DP 所在直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为 AP=BC=2AB=2AD ，设 AD=1 ，则 D(0，0，0) ， A(1，0，0) ， B(1，2，0) ， C(−1，2，0) ， P(0，0，3) ， AB→=(0，2，0) ， BP→=(−1，−2，3) ， BC→=(−2，0，0) . 设平面 PAB 的一个法向量为 n→=(x1，y1，z1) ，则 {n→⋅AB→=0，n→⋅BP→=0， 得 {2y1=0，−x1−2y1+3z1=0， 所以 y1=0 .令 z1=1 ，得 x1=3 ，所以 n→=(3，0，1) . 设平面 PBC 的一个法向量为 m→=(x2，y2，z2) ，则 {m→⋅BC→=0，m→⋅BP→=0， 得 {−2x2=0，−x2−2y2+3z2=0， 所以 x2=0 ， y2=3 ，得 z2=2 ，所以 m→=(0，3，2) . 则 |cos〈n→，m→〉|=|n→⋅m→||n→|⋅|m→|=2(3)2+12×(3)2+(2)2=1010 ， 即平面 PAB 与平面 PBC 夹角的余弦值为 1010 .

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