题目

已知正项数列 的前n项和为 ，且 ， ， ，且 ． （1） 求数列 的通项公式； （2） 设数列 前n项积为 ，证明： ， ． 答案： 解：当 n≥2 时， an=Sn−Sn−1 ， ∵ an=Sn+Sn−1 ， ∴ Sn−Sn−1=Sn+Sn−1 ，即 (Sn+Sn−1)(Sn−Sn−1)=Sn+Sn−1 ， ∵数列 {an} 各项为正， ∴ Sn+Sn−1>0 ，即 Sn−Sn−1=1 ，则数列 {Sn} 为 S1=a1=1 首项，公差 d=1 的等差数列， ∴ Sn=n ，即 Sn=n2 ， ∴当 n≥2 时， an=Sn−Sn−1=2n−1 ，经检验 n=1 成立， ∴ an=2n−1 解：∵ 1an+1=2n2n−1<2n+12n−1 ，数列 {1an+1} 前n项积为 Tn ∴ Tn=(1a1+1)(1a2+1)(1a3+1)⋯(1an+1)<31×53×75×⋯×2n+12n−1=2n+1 ∵ 1an+1=2n2n−1>2n+12n−1 ， ∴ Tn=(1a1+1)(1a2+1)(1a3+1)⋯(1an+1)>31×53×75×⋯×2n+12n−1=2n+1 ， ∴ 2n+1<Tn<2n+1

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