题目

如图1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC=6.△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE.AC和BE相交于点O. （1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由； （2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AB于点Q，QR⊥BD，垂足为点R. ①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积； ②当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相似？（改编） 答案：解：（1）四边形ABCE是菱形。                      ∵△ECD是由△ABC沿BC平移得到的，∴EC∥AB，且EC＝AB， ∴四边形ABCE是平行四边形，                    又∵AB=BC，∴四边形ABCE是菱形 .    （2）①四边形PQED的面积不发生变化。 方法一：∵ABCE是菱形，∴AC⊥BE，OC=AC=3，∵BC=5，∴BO=4， 过A作AH⊥BD于H，（如图1）. ∵S△ABC＝BC×AH＝AC×BO， 即：×5×AH＝×6×4，∴AH＝.   【或 ∵∠AHC＝∠BOC＝90°，∠BCA公用，∴△AHC∽△BOC，∴AH:BO＝AC:BC， 即：AH:4＝6:5，∴AH＝.          由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，∴BP＝QE， ∴S四边形PQED＝（QE+PD）×QR＝（BP+PD）×AH＝BD×AH   ＝×10×＝24.                方法二: 由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，∴S△PBO＝ S△QEO， ∵△ECD是由△ABC平移得到得，∴ED∥AC，ED＝AC＝6， 又∵BE⊥AC，∴BE⊥ED，                              ∴S四边形PQED＝S△QEO＋S四边形POED＝S△PBO＋S四边形POED＝S△BED ＝×BE×ED＝×8×6＝24.                               ②方法一：如图2，当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时， ∵∠2是△OBP的外角，∴∠2＞∠3，∴∠2不与∠3对应，∴∠2与∠1对应， 即∠2＝∠1，∴OP=OC=3                                  过O作OG⊥BC于G，则G为PC的中点，△OGC∽△BOC， ∴CG:CO＝CO:BC，即：CG:3＝3:5，∴CG=，          ∴PB＝BC－PC＝BC－2CG＝5－2×＝.              方法二：如图3，当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时， ∵∠2是△OBP的外角，∴∠2＞∠3， ∴∠2不与∠3对应，∴∠2与∠1对应，                ∴QR:BO＝PR:OC，即：:4＝PR:3，∴PR＝，      过E作EF⊥BD于F，设PB＝x，则RF=QE=PB=x， DF＝==，                     ∴BD＝PB＋PR＋RF＋DF＝x＋＋x＋＝10，x＝.     方法三: 如图4，若点P在BC上运动，使点R与C重合， 由菱形的对称性知，O为PQ的中点，∴CO是Rt△PCQ斜边上的中线， ∴CO=PO，                                            ∴∠OPC＝∠OCP，此时，Rt△PQR∽Rt△CBO，       ∴PR:CO＝PQ:BC，即PR:3＝6:5，∴PR＝           ∴PB＝BC-PR＝5－＝.                             

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