题目

“费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点．对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使的点即为费马点．已知中，角的对边分别为 ， 点是的“费马点”． （1） 求角； （2） 若 ， 求的周长； （3） 若 ， 求实数的值． 答案： 解：因为acosC+3asinC−b−c=0，由正弦定理得sinAcosC+3sinAsinC−sinB−sinC=0，所以sinAcosC+3sinAsinC−sinA+C−sinC=0，所以3sinAsinC−cosAsinC−sinC=0 sinC>0，所以3sinA−cosA=1，则sinA−π6=12，所以A−π6=π6，得A=π3. 解：设PA⃗=x,PB⃗=y,PC⃗=z，因为PA⃗⋅PB⃗+PB⃗⋅PC⃗+PC⃗⋅PA⃗=xy−12+yz−12+xz−12=−1，所以xy+yz+xz=2，由S△PAB+S△PAC+S△PBC=S△ABC，得12xy32+12yz32+12xz32=12bcsinπ3，则bc=2，由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA，所以a2=b+c2−3bc，则4=b+c2−3×2，解得b+c=10，所以△ABC的周长为a+b+c=2+10. 解：不妨设|PA|=m|PC|,|PB|=n|PC|,|PC|=x，则m+n=λ，由余弦定理得：|AB|2=m2x2+n2x2−2mnx2cos120°=x2m2+n2+mn=163，①|AC|2=x2+m2x2−2mx2cos120°=x21+m+m2=43，②|BC|2=x21+n+n2=4，③因为|AB|2=|AC|2+|BC|2，所以x2m2+n2+mn=x2m2+m+1+x2n2+n+1，则m+n+2=mn，所以n=m+2m−1，由②③得：1+m+m21+n+n2=13，则31+m+m2=n2+n+1，31+m+m2=m+2m−12+m+2m−1+1=(m+2)2+(m+2)(m−1)+(m−1)2(m−1)2=3m2+m+1(m−1)2因为m2+m+1≠0，所以(m−1)2=1，解得m=2或m=−1(舍)，所以n=4，则λ=m+n=6.

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