题目

如图所示，在xOy平面的第一象限内有半径为R的圆形区域，该区域内有一匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里。已知圆形区域的圆心为 ， 其边界与x轴、y轴分别相切于P、Q点。位于P处的质子源均匀地向纸面内以大小为v的相同速率发射质量为m、电荷量为e的质子，且质子初速度的方向被限定在两侧与的夹角均为的范围内。第二象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E，在x轴（）的某区间范围内放置质子接收装置MN。已知沿方向射入磁场的质子恰好从Q点垂直y轴射入匀强电场，不计质子受到的重力和质子间的相互作用力。（1）求圆形区域内匀强磁场的磁感应强度大小B；（2）求y轴正方向上有质子射出的区域范围；（3）若要求质子源发出的所有质子均被接收装置MN接收，求接收装置MN的最短长度x。 答案：解：（1）沿PO'方向射入磁场的质子恰好从Q点垂直y轴射入匀强电场，则该质子运动半径为R，有eBv=mv2R解得B=mveR（2）如图所示，设在PO'左右两侧30°角方向上射入磁场的质子，最终分别有磁场边界上的A、B两点射出，对应圆周运动的圆心分别为O1、O2，则四边形AO1PO'和BO2PO'均为 ，则粒子由A、B两点水平飞出，且O1与B点重合。根据几何关系可知∠O'PB=∠O2PB=60o，AB=BO2=RB点到x轴的距离为R2，所以y轴正方向上有质子射出的区域范围为R2≤y≤3R2。（3）若质子由y=3R2处飞入电场时打在M点，由y=R2处飞入电场时打在N点，根据类平抛运动的规律，有eE=ma，3R2=12at12，R2=12at22，xM=vt1，xN=vt2解得xM=v3RmeE  ，xN=vRmeEMN的最短长度为x=xM−xN=3−1vRmeE

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