题目

已知二次函数的图象如图. （1）求它的对称轴与轴交点D的坐标； （2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴，轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式； （3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由.   答案：解: （1）由得   ∴Ｄ（3，0）   （2）方法一: 如图1, 设平移后的抛物线的解析式为    则C   OC= 令   即  得      ∴A，B ∴ ∵ 即: 得     (舍去) ∴抛物线的解析式为 方法二: ∵   ∴顶点坐标 设抛物线向上平移h个单位 则得到,顶点坐标     ∴平移后的抛物线: 当时,    ∴ A   B   ∵∠ACB=90°   ∴△AOC∽△COB ∴OA·OB     解得 , …………7分 ∴平移后的抛物线: （3）方法一: 如图2, 由抛物线的解析式可得 A(-2 ，0)，B(8，0) ，C(４，0) ，M 过C、M作直线，连结CD，过M作MH垂直y轴于H 则  ∴  在Rt△COD中,CD==AD   ∴点C在⊙D上          ∵   ∴ ∴△CDM是直角三角形，∴CD⊥CM ∴直线CM与⊙D相切  方法二: 如图3, 由抛物线的解析式可得 A(-2 ，0)，B(8，0) ，C(４，0) ，M  作直线CM,过D作DE⊥CM于E, 过M作MH垂直y轴于H 则, 由勾股定理得 ∵DM∥OC           ∴∠MCH=∠EMD ∴Rt△CMH∽Rt△DME          ∴    得    由(2)知 ∴⊙D的半径为5  ∴直线CM与⊙D相切     

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