题目

已知函数 ， ． （1） 求的单调区间； （2） 当时，有两个零点 ， ①证明：；②设函数的两个零点 ， 且 ， 证明： ． 答案： 解：函数f(x)=exx+1，的定义域为(−∞，−1)∪(−1，+∞)．由f'(x)=xex(x+1)2=0，解得x=0，当x∈(−∞，−1)时，f'(x)<0，f(x)在(−∞，−1)上单调递减，当x∈(−1，0)时，f'(x)<0，f(x)在(−1，0)上单调递减，当x∈(0，+∞)时，f'(x)>0，f(x)在(0，+∞)上单调递增，综上可知，f(x)的单调递增区间为(0，+∞)，单调递减区间为(−∞，−1)和(−1，0)． 证明：①g'(x)=−xex=0，解得x=0，当x∈(−∞，0)时，g'(x)>0，g(x)在(−∞，0)上单调递增，当x∈(0，+∞)时，g'(x)<0，g(x)在(0，+∞)上单调递减，g(x)max=g(0)=(1−0)e0=1，g(1)=0，当x>1时，g(x)<0；当x<1时，g(x)>0，当x趋向于负无穷时，g(x)趋向于0，故m∈(0，1)时，y=g(x)−m有两个零点x1，x2，且x1<0<x2，令h(x)=g(x)−g(−x)=(1−x)ex−(1+x)e−x(x<0)，所以h'(x)=−xex+xe−x=x(e−x−ex)<0，所以h(x)在(−∞，0)上单调递减，且h(0)=1−1=0，所以h(x)>h(0)=0，即g(x)>g(−x)，所以g(x1)>g(−x1)，又因为g(x1)=g(x2)，所以g(x2)>g(−x1)，g(x)在(0，+∞)上单调递减，所以x2<−x1，即x1+x2<0．②由（1）可得f(x)=exx+1的图象如图所示，若要使函数y=f(x)+m−2即2−m=f(x)有两个零点，则2−m>1，故x3∈(−1，0)，x4∈(0，+∞)，要证x2+x3>0，只需证x2>−x3>0，由①知g(x)在(0，+∞)上单调递减，只需证g(x2)<g(−x3)，又因为g(−x3)=(1+x3)e−x3=1+x3ex3=1f(x3)，只需证g(x2)<1f(x3)，即m<12−m，又m∈(0，1)，只需证2m−m2<1即m2−2m+1=(m−1)2>0成立，故x2+x3>0得证．

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