题目

如图，抛物线y=ax2- x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，连结AC，已知B（-1，0），且抛物线经过点D（2，-2）。 （1） 求拋物线的解析式； （2） 若点E是抛物线上位于x轴下方的一点，且S△ACE= S△ABC ， 求E的坐标； （3） 若点P是y轴上一点，以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标。 答案： 解：将点B(-1，0)，点D(2，-2)代入y=ax2- 43 x+c 可得 {a+43+c=04a−83+c=−2 ，解得 {a=23c=−2 ∴抛物线解析式：y= 23 x2- 43 x-2 解：当y=0时， 23 x2- 43 x-2=0 解方程y= 23 x2- 43 x-2，得x1=-1，x2=3 ∴A(3，0) ∴AB=4 当x=0时，y=-2 ∴C(0，-2) ∴S△ABC= 12 AB·|yc|= 12 ×4×2=4   设lAC：y=kx+b，将点A(3，0)，C(0，-2)代入y=kx+b 得 {3k+b=0b=−2 ，解得 {k=23b=−2 ∴y= 23 x-2 如图1，过点E作x轴的垂线交lAC于点F 设点F(a， 23 a-2)，点E(a， 23 a2- 43 a-2)，其中-1<a<3 ∴S△ACE= 12 EF|xA-xC|= 32 | 23 a2-2a|= {a2−3a,−1<a<0−a2+3a,0<a<3 由S△ACE= 12 S△ABC 可得a2-3a=2或-a2+3a=2 解得：a1= 3+172  (舍)a2= 3−172 ，a3=1，a4=2 ∴E1=( 3−172 ， 1−173 )，E2(1，- 83 )，E3(2，-2)    法二：提示：由△ACE与△ABC有两个公共顶点， 三角形面积之比可转化为高之比，利用平行线可快速解决问题。 解：情形一：当点A为等腰△PAC的顶点时， AC=AP，如图2 ∵AC=AP，OA⊥CP ∴CO=OP=2 ∴点P1(0，2)    情形二：当点C为等腰△PAC的顶点时，CA=CP，如图3 ∵CA=CP= 13 ∴P2(0，-2+ 13 )，B(0，-2- 13 )   情形三：当点P为等腰△PAC的顶点时， CA=CP，如图4 过线段AC的中点D作垂线交y轴于点P 由中点坐标公式可得D（ 32 ，-1） ∵PD⊥AC ∴kAC·kPD=-1 又∵kAC= 23 ∴kPD= −32 ∴lPD：y= −32x+54 当x=0时，y= 54 ∴P4(0， 54 ) 综上所述：P1(0，2)P2(0，-2+ 13 )，P3(0，-2- 13 )，P4(0， 54 )

查看本题答案和解析