题目

如题图所示，在真空中的xOy平面内，有四个边界垂直于x轴的条状区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，区域Ⅰ、Ⅲ宽度均为d，内有沿－y方向的匀强电场E；区域Ⅱ、Ⅳ宽度均为2d，内有垂直于xOy平面向内的匀强磁场和。M是区域Ⅲ右边界与x轴的交点。质量为m，电荷量为+q的粒子甲以速度从O点沿+x方向射入电场E，经过一段时间后，沿+x方向与静止在M点的粒子乙粘合在一起，成为粒子丙进入区域Ⅳ，之后直接从右边界上Q点（图中未标出）离开区域Ⅳ。粒子乙不带电，质量为2m，粘合前后无电荷损失，粘合时间极短，已知 ， 粒子重力不计。求： （1） 粒子甲离开区域Ⅰ时速度的大小和与+x方向的夹角θ； （2） 磁感应强度的大小； （3） 粒子丙从M点运动到Q点的最长时间。 答案： 解：设粒子甲在电场E1中的加速度为a1，运动时间为t1，离开区域I时速度大小为v1，与x轴正方向夹角为θ，v1沿y轴负方向的大小为vy，则根据牛顿第二定律有qE1=ma1在水平方向d=v0t1在竖直方向上vy=a1t1由速度的合成及几何关系有vy=v0tanθ，v1=v0cosθ解得v1=2v0，θ=60° 解：粒子甲运动到M点时速度沿x轴正方向，由运动的对称性，粒子甲在匀强磁场B1中做匀速圆周运动轨迹关于区域II垂直于x轴的中线对称，设轨道半径为r1，则由对称性和几何关系d=r1sinθ洛伦兹力提供向心力qv1B1=mv12r1解得B1=3mv0qd 解：设粒子甲在M点与粒子乙粘合前速度大小为v2，粒子丙在M点速度大小为v3，由题意知v2=v0以+x方向为正方向，根据动量守恒定律有mv2=3mv3粒子丙在磁场B2中以速度v3做匀速圆周运动，且从右边界上Q点离开，则当匀速圆周运动的半径r2=2d时，粒子丙在磁场B2中运动时间最长，设为t，则t=2πr24v3=3πdv0

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