题目

已知x=1是函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1的一个极值点,其中m、n∈R,m＜0,(1)求m与n的关系式;(2)求f(x)的单调区间(用m表示);(3)当x∈［-1,1］时,函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围. 答案：解：(1)f′(x)=3mx2-6(m+1)x+n,因为x=1是f(x)的一个极值点,所以f′(1)=0,即3m-6(m+1)+n=0.所以n=3m+6. (2)由(1)知,f′(x)=3mx2-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1)［x-(1+)］, 当m＜0时,有1＞1+,当x变化时,f(x)与f′(x)的变化如下表:x(-∞,1+)1+(1+,1)1(1,+∞)f′(x)-0+0-f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以,当m＜0时,f(x)在(-∞,1+)上单调递减,在(1+,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.(3)由已知得f′(x)＞3m,即mx2-2(m+1)x+2＞0.又m＜0,所以x2-(m+1)x+＜0,x∈［-1,1］.①设g(x)=x2-2(1+)x+,其图象抛物线开口向上,①式恒成立的充要条件是即解得-＜m＜0.所以m的取值范围是(-,0).

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