题目

已知圆 . （1） 若直线 过点 且被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程； （2） 若直线 过点 与圆 相交于 ， 两点，求 的面积的最大值，并求此时直线 的方程. 答案： 解：圆 C 的圆心坐标为 C(3,4) ，半径 R=2 ， ∵ 直线 l 被圆 E 截得的弦长为 23 ， ∴ 由勾股定理得到圆心 C 到直线 l 的距离 d=1 ①当直线 l 的斜率不存在时， l:x=2 ，显然满足 d=1 ； ②当直线 l 的斜率存在时，设 l:y−3=k(x−2) ，即 kx−y+3−2k=0 ， 由圆心 C 到直线 l 的距离 d=1 得： |k−1|1+k2=1 ，解得 k=0 ，故 l:y=3 ； 综上所述，直线 l 的方程为 x=2 或 y=3 解： ∵ 直线与圆相交， ∴l 的斜率一定存在且不为0，设直线 l 方程： y=k(x−1) ， 即 kx−y−k=0 ，则圆心 C 到直线 l 的距离为 d=|2k−4|1+k2 ， 又 ∵△CPQ 的面积 S=12×d×24−d2=d4−d2=d2(4−d2)=−(d2−2)2+4 ∴ 当 d=2 时， S 取最大值2，由 d=|2k−4|1+k2=2 ，得 k=1 或 k=7 ， ∴ 直线 l 的方程为 x−y−1=0 或 7x−y−7=0

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