题目

如图，在Rt△ABC中，，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径是2cm，E是弧AD的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号） 答案：（1）证明见解析  （2） 【分析】 （1）连接OD，只要证明OD∥AC即可解决问题； （2）连接OE，OE交AD于K．只要证明△AOE是等边三角形即可解决问题． 【详解】 （1）连接OD． ∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA． ∵∠OAD=∠DAC，∴∠ODA=∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C=90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线． （2）连接OE，OE交AD于K． ∵，∴OE⊥AD． ∵∠OAK=∠EAK，AK=AK，∠AKO=∠AKE=90°，∴△AKO≌△AKE，∴AO=AE=OE，∴△AOE是等边三角形，∴∠AOE=60°，∴S阴=S扇形OAE﹣S△AOE22． 【点睛】 本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

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