题目

如图（1），平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，点B的坐标为（0，1），∠BAO=30°. （1）求AB的长度；（2）以AB为一边作等边△ABE，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点，求证：BD=OE；（3）在（2）的条件下，连接DE交AB于F，求证：F为DE的中点. 答案：解：∵在Rt△ABO中，∠BAO=30°， ∴AB=2BO=2；证明：连接OD， ∵△ABE为等边三角形， ∴AB=AE，∠EAB=60°， ∵∠BAO=30°，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D， ∴∠DAO=60°. ∴∠EAO=∠NAB 又∵DO=DA， ∴△ADO为等边三角形. ∴DA=AO. 在△ABD与△AEO中， ∵ {AB=AE∠EAO=∠NABDA=AO ， ∴△ABD≌△AEO（SAS）. ∴BD=OE. 证明：作EH⊥AB于H. ∵AE=BE，∴AH= 12 AB， ∵BO= 12 AB，∴AH=BO，在Rt△AEH与Rt△BAO中， {AH=BOAE=AB ， ∴Rt△AEH≌Rt△BAO（HL）， ∴EH=AO=AD. 又∵∠EHF=∠DAF=90°，在△HFE与△AFD中， {∠EHF=∠DAF∠EFH=∠DFAEH=AD ， ∴△HFE≌△AFD（AAS）， ∴EF=DF. ∴F为DE的中点.

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